计算机科学中的数学 信息与智能时代的必修课 电子工业出版社 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

本书原为麻省理工学院计算机科学与工程专业的数学课程讲义，谷歌技术专家参与编写，涵盖计算机科学涉及的全部基础数学知识，包括形式逻辑符号、数学证明、归纳、集合与关系、图论基础、排列与组合、计数原理、离散概率、递归等，特别强调数学定义、证明及其应用方法。本书因具有系统、完整，以及有趣、易读等明显优势，现已被全球IT技术相关从业者及准从业者奉为圭臬、广泛传阅，在人工智能日益普及的全新信息时代，更是大放异彩。本书适合计算机相关专业学生及从业人员作为数学入门教材，亦可作为统计、机器学习、数据挖掘等课程的宝贵资料。

第I部分数学证明

引言3

0.1参考文献4

第1章什么是证明5

1.1命题5

1.2谓词8

1.3公理化方法8

1.4我们的公理9

1.4.1逻辑推理9

1.4.2证明的模式10

1.5证明蕴涵10

1.5.1方法#111

1.5.2方法#2：证明逆反命题12

1.6证明“当且仅当”13

1.6.1方法#1：证明两个语句相互蕴涵13

1.6.2方法#2：构建iff链13

1.7案例证明法14

1.8反证法15

1.9数学证明的优秀实践16

1.10参考文献18

1.1节习题18

1.5节习题21

1.7节习题21

1.8节习题23

第2章良序原理26

2.1良序证明26

2.2良序证明模板27

2.2.1整数求和27

2.3质因数分解29

2.4良序集合29

2.4.1不一样的良序集合（选学）30

2.2节习题31

2.4节习题38

第3章逻辑公式40

3.1命题的命题41

3.1.1NOT，AND和OR41

3.1.2当且仅当42

3.1.3IMPLIES42

3.2计算机程序的命题逻辑44

3.2.1真值表计算45

3.2.2符号表示46

3.3等价性和有效性47

3.3.1蕴涵和逆否47

3.3.2永真性和可满足性48

3.4命题代数49

3.4.1命题范式49

3.4.2等价性证明50

3.5SAT问题53

3.6谓词公式54

3.6.1量词54

3.6.2混合量词55

3.6.3量词的顺序56

3.6.4变量与域56

3.6.5否定量词57

3.6.6谓词公式的永真性57

3.7参考文献58

3.1节习题59

3.2节习题61

3.3节习题65

3.4节习题68

3.5节习题69

3.6节习题71

第4章数学数据类型79

4.1集合79

4.1.1常用集合80

4.1.2集合的比较和组合80

4.1.3幂集81

4.1.4集合构造器标记82

4.1.5证明集合相等82

4.2序列83

4.3函数84

4.3.1域和像84

4.3.2函数复合86

4.4二元关系86

4.4.1关系图87

4.4.2关系的像89

4.5有限基数90

4.5.1有限集有多少个子集91

4.1节习题92

4.2节习题96

4.4节习题97

4.5节习题105

第5章归纳法107

5.1一般归纳法107

5.1.1一般归纳法的规则108

5.1.2举例说明108

5.1.3归纳法证明的模板109

5.1.4一般归纳法的简洁写法110

5.1.5更复杂的例子111

5.1.6错误的归纳证明113

5.2强归纳法115

5.2.1强归纳法的规则115

5.2.2斐波那契数列116

5.2.3质数的乘积117

5.2.4找零问题118

5.2.5堆盒子游戏119

5.3强归纳法、一般归纳法和良序法的比较120

5.1节习题121

5.2节习题131

第6章状态机136

6.1状态和转移136

6.2不变性原理137

6.2.1沿对角线移动的机器人137

6.2.2不变性原理的定义139

6.2.3示例：《虎胆龙威》141

6.3偏序正确性和终止性143

6.3.1快速求幂143

6.3.2派生变量145

6.3.3基于良序集合的终止性（选学）146

6.3.4东南方向跳跃的机器人（选学）146

6.4稳定的婚姻147

6.4.1配对仪式148

6.4.2我们结婚吧150

6.4.3他们从此幸福地生活在一起150

6.4.4竟然是男性151

6.4.5应用152

6.3节习题153

6.4节习题165

第7章递归数据类型172

7.1递归定义和结构归纳法172

7.1.1结构归纳法174

7.2匹配带括号的字符串175

7.3非负整数上的递归函数179

7.3.1N上的一些标准递归函数179

7.3.2不规范的函数定义179

7.4算术表达式181

7.4.1Aexp的替换和求值181

7.5计算机科学中的归纳185

7.1节习题185

7.2节习题193

7.3节习题201

7.4节习题202

第8章无限集206

8.1无限基数集206

8.1.1不同之处209

8.1.2可数集209

8.1.3幂集的势严格大于原集合211

8.1.4对角线证明213

8.2停止问题214

8.3集合逻辑217

8.3.1罗素悖论217

8.3.2集合的ZFC公理系统218

8.3.3避免罗素悖论220

8.4这些真的有效吗220

8.4.1计算机科学中的无穷大221

8.1节习题221

8.2节习题228

8.3节习题233

8.4节习题236

第Ⅱ部分结构

引言241

第9章数论242

9.1整除242

9.1.1整除的性质243

9.1.2不可整除问题244

9.1.3虎胆龙威245

9.2优选公约数247

9.2.1欧几里得算法247

9.2.2粉碎机249

9.2.3水壶问题的通解251

9.2.4优选公约数的性质252

9.3质数的奥秘253

9.4算术基本定理255

9.4.1专享分解定理的证明256

9.5阿兰·图灵257

9.5.1图灵编码（1.0版）258

9.5.2破解图灵编码（1.0版）260

9.6模运算260

9.7余运算262

9.7.1环Z_n264

9.8图灵编码（2.0版）265

9.9倒数与约去266

9.9.1互质267

9.9.2约去268

9.9.3解密（2.0版）268

9.9.4破解图灵编码（2.0版）269

9.9.5图灵后记269

9.10欧拉定理271

9.10.1计算欧拉?函数273

9.11RSA公钥加密274

9.12SAT与RSA有什么关系276

9.13参考文献277

9.1节习题277

9.2节习题278

9.3节习题285

9.4节习题285

9.6节习题287

9.7节习题288

9.8节习题293

9.9节习题293

9.10节习题295

9.11节习题303

第10章有向图和偏序309

10.1顶点的度311

10.2路和通路311

10.2.1查找通路313

10.3邻接矩阵314

10.3.1最短路径315

10.4路关系316

10.4.1复合关系316

10.5有向无环图＆调度317

10.5.1调度318

10.5.2并行任务调度320

10.5.3Dilworth引理322

10.6偏序323

10.6.1DAG中路关系的性质323

10.6.2严格偏序324

10.6.3弱偏序325

10.7用集合包含表示偏序326

10.8线性序327

10.9乘积序327

10.10等价关系328

10.10.1等价类328

10.11关系性质的总结329

10.1节习题330

10.2节习题331

10.3节习题334

10.4节习题335

10.5节习题338

10.6节习题344

10.7节习题347

10.8节习题349

10.9节习题352

10.10节习题354

第11章通信网络357

11.1路由357

11.1.1接近二叉树357

11.1.2路由问题358

11.2路由的评价指标358

11.2.1网络直径358

11.2.2交换机的数量359

11.2.3网络时延359

11.2.4拥塞360

11.3网络设计361

11.3.1二维阵列361

11.3.2蝶形网络362

11.3.3Benes?网络363

11.2节习题368

11.3节习题368

第12章简单图373

12.1顶点邻接和度373

12.2美国异性伴侣统计375

12.2.1握手引理376

12.3一些常见的图377

12.4同构378

12.5二分图与匹配380

12.5.1二分匹配问题380

12.5.2匹配条件381

12.6着色384

12.6.1一个考试安排问题384

12.6.2一些着色边界386

12.6.3为什么着色387

12.7简单路388

12.7.1简单图中的路、通路和圈388

12.7.2圈作为子图389

12.8连通性390

12.8.1连通分量390

12.8.2奇数长度的圈和2-着色性391

12.8.3k？连通图392

12.8.4连通图的最小边数393

12.9森林和树394

12.9.1叶子、父母和孩子394

12.9.2性质395

12.9.3生成树397

12.9.4最小生成树397

12.10参考文献401

12.2节习题402

12.4节习题403

12.5节习题406

12.6节习题411

12.7节习题418

12.8节习题420

12.9节习题424

第13章平面图431

13.1在平面上绘制图形431

13.2平面图的定义433

13.2.1面434

13.2.2平面嵌入的递归定义436

13.2.3这个定义行吗438

13.2.4外表面在哪里呢438

13.3欧拉公式439

13.4平面图中边的数量440

13.5返回到K_5和K_3,3441

13.6平面图的着色442

13.7多面体的分类443

13.8平面图的另一个特征445

13.2节习题446

13.8节习题447

第Ⅲ部分计数

引言455

第14章求和与渐近性457

14.1年金的值458

14.1.1钱未来的价值458

14.1.2扰动法459

14.1.3年金价值的闭型460

14.1.4无限长的等比数列460

14.1.5示例461

14.1.6等比数列求和的变化462

14.2幂和463

14.3估算求和式子465

14.4超出边界468

14.4.1问题陈述468

14.4.2调和数471

14.4.3渐近等式473

14.5乘积474

14.5.1斯特林公式475

14.6双倍的麻烦477

14.7渐近符号479

14.7.1小o479

14.7.2大O479

14.7.3θ481

14.7.4渐近符号的误区482

14.7.5Ω（选学）484

14.1节习题484

14.2节习题486

14.3节习题486

14.4节习题488

14.7节习题490

第15章基数法则499

15.1通过其他计数来计算当前计数499

15.1.1双射规则499

15.2序列计数500

15.2.1乘积法则501

15.2.2n-元素集合的子集501

15.2.3加和法则502

15.2.4密码计数502

15.3广义乘积法则503

15.3.1有缺陷的美元钞票504

15.3.2一个象棋问题505

15.3.3排列505

15.4除法法则506

15.4.1另一个象棋问题506

15.4.2圆桌骑士507

15.5子集计数508

15.5.1子集法则509

15.5.2比特序列510

15.6重复序列510

15.6.1子集序列510

15.6.2Bookkeeper法则511

15.6.3二项式定理512

15.7计数练习：扑克手牌513

15.7.1四条相同点数的手牌514

15.7.2葫芦手牌514

15.7.3两个对子的手牌515

15.7.4花色齐全的手牌517

15.8鸽子洞原理517

15.8.1头上的头发518

15.8.2具有相同和的子集519

15.8.3魔术521

15.8.4秘密521

15.8.5真正的秘密523

15.8.6如果是4张牌呢524

15.9容斥原理525

15.9.1两个集合的并集525

15.9.2三个集合的并集525

15.9.342序列、04序列或60序列526

15.9.4n个集合的并集527

15.9.5计算欧拉函数529

15.10组合证明530

15.10.1帕斯卡三角恒等式530

15.10.2给出组合证明531

15.10.3有趣的组合证明532

15.11参考文献533

15.2节习题534

15.4节习题537

15.5节习题538

15.6节习题544

15.7节习题548

15.8节习题550

15.9节习题554

15.10节习题561

第16章母函数566

16.1无穷级数566

16.1.1不收敛性567

16.2使用母函数计数568

16.2.1苹果和香蕉568

16.2.2母函数的积569

16.2.3卷积法则570

16.2.4利用卷积法则数甜甜圈570

16.2.5卷积法则中的二项式定理571

16.2.6一个荒唐的计数问题572

16.3部分分式573

16.3.1带有重根的部分分式575

16.4求解线性递推575

16.4.1斐波那契数的母函数575

16.4.2汉诺塔576

16.4.3求解一般线性递推580

16.5形式幂级数580

16.5.1发散母函数580

16.5.2幂级数环581

16.6参考文献583

16.1节习题583

16.2节习题583

16.3节习题586

16.4节习题588

16.5节习题595

第Ⅳ部分概率论

引言599

第17章事件和概率空间601

17.1做个交易吧601

17.1.1理清问题601

17.2四步法602

17.2.1步骤一：找到样本空间602

17.2.2步骤二：确定目标事件605

17.2.3步骤三：确定结果的概率606

17.2.4步骤四：计算事件的概率608

17.2.5蒙特霍尔问题的另一种解释609

17.3奇怪的骰子609

17.3.1骰子Avs.骰子B610

17.3.2骰子Avs.骰子C612

17.3.3骰子Bvs.骰子C612

17.3.4掷两次613

17.4生日原理615

17.4.1匹配概率的确切公式615

17.5集合论和概率616

17.5.1概率空间616

17.5.2集合论的概率法则617

17.5.3均匀概率空间618

17.5.4无穷概率空间619

17.6参考文献620

17.2节习题620

17.5节习题623

第18章条件概率626

18.1蒙特霍尔困惑626

18.1.1帷幕之后627

18.2定义和标记627

18.2.1问题所在628

18.3条件概率四步法629

18.4为什么树状图有效630

18.4.1大小为k的子集的概率631

18.4.2医学检测632

18.4.3四步分析法633

18.4.4固有频率634

18.4.5后验概率634

18.4.6概率的哲学635

18.5全概率定理637

18.5.1以单一事件为条件637

18.6辛普森悖论638

18.7独立性640

18.7.1另一个公式640

18.7.2独立性是一种假设641

18.8相互独立性641

18.8.1DNA检测642

18.8.2两两独立643

18.9概率vs.置信度645

18.9.1肺结核测试645

18.9.2可能性修正646

18.9.3很可能正确的事实648

18.9.4特别事件648

18.9.5下一次抛掷的置信度649

18.4节习题650

18.5节习题650

18.6节习题660

18.7节习题661

18.8节习题663

18.9节习题666

第19章随机变量667

19.1随机变量示例667

19.1.1指示器随机变量668

19.1.2随机变量和事件668

19.2独立性669

19.3分布函数670

19.3.1伯努利分布672

19.3.2均匀分布672

19.3.3数字游戏673

19.3.4二项分布675

19.4期望677

19.4.1均匀随机变量的期望值677

19.4.2随机变量的倒数的期望678

19.4.3指示器随机变量的期望值678

19.4.4期望的另一种定义678

19.4.5条件期望679

19.4.6平均故障时间680

19.4.7赌博游戏的预期收益682

19.5期望的线性性质686

19.5.1两枚骰子的期望687

19.5.2指示器随机变量的和687

19.5.3二项分布的期望688

19.5.4赠券收集问题689

19.5.5无限和691

19.5.6赌博悖论691

19.5.7悖论的解答692

19.5.8乘积的期望693

19.2节习题694

19.3节习题696

19.4节习题698

19.5节习题702

第20章离差712

20.1马尔可夫定理712

20.1.1应用马尔可夫定理714

20.1.2有界变量的马尔可夫定理714

20.2切比雪夫定理715

20.2.1两个赌博游戏的方差716

20.2.2标准差717

20.3方差的性质718

20.3.1方差公式719

20.3.2故障时间的方差719

20.3.3常数的处理720

20.3.4和的方差721

20.3.5生日匹配722

20.4随机抽样估计723

20.4.1选民投票723

20.4.2两两独立采样725

20.5估计的置信度726

20.6随机变量的和728

20.6.1引例728

20.6.2切诺夫界729

20.6.3二项式尾的切诺夫界729

20.6.4彩票游戏的切诺夫界730

20.6.5随机负载均衡731

20.6.6切诺夫界的证明732

20.6.7边界的比较734

20.6.8墨菲定律735

20.7大期望736

20.7.1重复你自己736

20.1节习题737

20.2节习题738

20.3节习题739

20.5节习题746

20.6节习题750

20.7节习题753

第21章随机游走755

21.1赌徒破产755

21.1.1避免破产的概率757

21.1.2获胜概率递推758

21.1.3有偏情形的简单解释759

21.1.4步长多长761

21.1.5赢了就退出762

21.2图的随机游走763

21.2.1网页排名初探764

21.2.2网页图的随机游走765

21.2.3平稳分布与网页排名766

21.1节习题768

21.2节习题769

第Ⅴ部分递推

引言779

第22章递推780

22.1汉诺塔780

22.1.1上界陷阱781

22.1.2扩充-化简法781

22.2归并排序783

22.2.1寻找递推784

22.2.2求解递推784

22.3线性递推786

22.3.1爬楼梯786

22.3.2求解齐次线性递推789

22.3.3求解一般线性递推790

22.3.4如何猜测特解792

22.4分治递推793

22.4.1Akra-Bazzi公式794

22.4.2两个技术问题795

22.4.3Akra-Bazzi定理796

22.4.4主定理797

22.5进一步探索797

22.4节习题799

参考文献802

符号表806

"唐李洋

女，博士，毕业于合肥工业大学管理科学与工程系。现就职于中国电子科技集团公司第三十八研究所，曾游学美国，数据挖掘与大数据分析研究经验颇丰，在相关领域重要国际期刊及会议发表论文数篇。译有《高可用MySQL》（第1版和第2版）《R高性能编程》《大数据猩球：海量数据处理实践指南》《流式架构：Kafka与MapR Streams数据流处理》等图书。

刘杰

男，博士，南开大学教授、博士生导师。研究领域包括机器学习与数据挖掘方面的理论方法研究，以及面向信息抽取、网络挖掘、对话生成等问题的应用研究。在机器学习、数据挖掘领域重要国际期刊及会议发表论文多篇。担任中国计算机学会中文信息技术专家委员会、中国计算机学会大数据专家委员会、人工智能学会机器学习专家委员会等多个专家委员会委员及通讯委员。相关成果获得天津市科技进步二等奖两项。

谭昶

男，博士，毕业于中国科学技术大学计算机应用与技术系。现任科大讯飞股份有限公司大数据研究院执行院长兼智慧城市事业群副总裁，中国计算机学会公共政策委员会执行委员及大数据专家委员会委员。负责科大讯飞公司智慧城市、计算广告和个性化推荐等方向的大数据核心技术研发及应用推广工作，在大数据技术、个性化推荐方面有着多年的研究和实践经验。

金博

男，博士，大连理工大学教授。致力于数据挖掘、大数据分析、创新管理、商务智能等领域的科学研究。主持和参与多项重量和省部级课题，在相关领域重要国际期刊及会议上发表论文60余篇，并担任数据挖掘领域三大很好会议KDD、ICDM、SDM的程序委员会委员，是ACM、IEEE和CCF高级会员。

马海平

女，博士，毕业于中国科学技术大学计算机科学与技术系。现就职于科大讯飞股份有限公司，担任大数据研究院研究主管，从事数据挖掘与人工智能算法以及计算广告和个性化教育等领域的研究工作。在国际知名期刊和学术会议发表论文7篇，合著出版著作《Spark机器学习进阶实战》《Spark核心技术与高级应用》。

朱琛

男，硕士，毕业于中国科学技术大学，百度资深数据挖掘工程师。现就职于百度人才智库（Talent Intelligence Center），从事人力资源智能化研究，致力于用AI为HR赋能。研究方向包括文本数据挖掘、社交网络分析、图数据挖掘。在国际很好会议与期刊杂志发表论文十余篇，申请专利十余项，曾担任数个国际很好会议（KDD、SDM等）程序委员会委员。

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前言

书籍介绍

本书是麻省理工学院计算机科学与工程专业本科生的初等离散数学课程讲义，涵盖了国外计算机科学专业涉及的基础数学知识，内容涉及形式逻辑符号、数学证明、归纳、集合与关系、图论基础、排列与组合、计数原理、离散概率、递归等，特别强调数学定义、证明及其应用方法。

本书适用于计算机相关专业学生及从业人员的数学入门，亦可作为统计、机器学习、数据挖掘等课程的初学资源。