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线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支科学，在现代数学的各个领域都有应用。本书内容主要包括线性代数中的线性方程、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性与最小二乘、对称矩阵与二次型、向量空间解析几何等，目的是让学生掌握线性代数的基本概念、理论和证明。全书内容简洁、例题丰富、版式美观，除介绍基本概念外，还介绍了它们在各个领域中的具体应用。本书是一本介绍性的线性代数教材，内容翔实，层次清晰，适合作为高等学校理工科数学课程的双语教学用书，也可作为公司职员及工程学研究人员的参考书。

Preface 8

前言

A Note to Students 15

学生须知

Chapter 1 Linear Equations in Linear Algebra 17

第1章 线性代数中的线性方程

INTRODUCTORY EXAMPLE: Linear Models in Economics and Engineering 17

介绍性示例：经济学与工程领域的线性模型

1.1 Systems of Linear Equations 18

线性方程组

1.2 Row Reduction and Echelon Forms 28

行简化与阶梯形

1.3 Vector Equations 40

向量方程

1.4 The Matrix Equation Ax = b 51

矩阵方程Ax = b

1.5 Solution Sets of Linear Systems 59

线性系统的解集

1.6 Applications of Linear Systems 66

线性系统的应用

1.7 Linear Independence 72

线性无关

1.8 Introduction to Linear Transformations 79

线性变换简介

1.9 The Matrix of a Linear Transformation 87

线性变换的矩阵表示法

1.10 Linear Models in Business, Science, and Engineering 97

商业、科学与工程领域的线性模型

Supplementary Exercises 105

补充习题

Chapter 2 Matrix Algebra 109

第2章 矩阵代数

INTRODUCTORY EXAMPLE: Computer Models in Aircraft Design 109

介绍性示例：飞行器设计领域的计算机模型

2.1 Matrix Operations 110

矩阵运算

2.2 The Inverse of a Matrix 120

逆矩阵

2.3 Characterizations of Invertible Matrices 129

可逆矩阵的特征

2.4 Partitioned Matrices 135

分块矩阵

2.5 Matrix Factorizations 141

矩阵分解

2.6 The Leontief Input–Output Model 150

Leontief投入产出模型

2.7 Applications to Computer Graphics 156

矩阵在计算机图形学中的应用

2.8 Subspaces of 164

的子空间

2.9 Dimension and Rank 171

维数与秩

Supplementary Exercises 178

补充习题

Chapter 3 Determinants 181

第3章 行列式

INTRODUCTORY EXAMPLE: Random Paths and Distortion 181

介绍性示例：随机路径与失真

3.1 Introduction to Determinants 182

行列式简介

3.2 Properties of Determinants 187

行列式的性质

3.3 Cramer’s Rule, Volume, and Linear Transformations 195

克莱姆法则、体积和线性变换

Supplementary Exercises 204

补充习题

Chapter 4 Vector Spaces 207

第4章 向量空间

INTRODUCTORY EXAMPLE: Space Flight and Control Systems 207

介绍性示例：航天与控制系统

4.1 Vector Spaces and Subspaces 208

向量空间与子空间

4.2 Null Spaces, Column Spaces, and Linear Transformations 216

零空间、列空间与线性变换

4.3 Linearly Independent Sets; Bases 226

线性无关集合；基

4.4 Coordinate Systems 234

坐标系

4.5 The Dimension of a Vector Space 243

向量空间的维数

4.6 Rank 248

秩

4.7 Change of Basis 257

基变换

4.8 Applications to Difference Equations 262

向量空间在差分方程中的应用

4.9 Applications to Markov Chains 271

向量空间在马尔可夫链中的应用

Supplementary Exercises 280

补充习题

Chapter 5 Eigenvalues and Eigenvectors 283

第5章 特征值与特征向量

INTRODUCTORY EXAMPLE: Dynamical Systems and Spotted Owls 283

介绍性示例：动力系统与花斑猫头鹰

5.1 Eigenvectors and Eigenvalues 284

特征向量与特征值

5.2 The Characteristic Equation 292

特征方程

5.3 Diagonalization 299

对角化

5.4 Eigenvectors and Linear Transformations 306

特征向量与线性变换

5.5 Complex Eigenvalues 313

复特征值

5.6 Discrete Dynamical Systems 319

离散动力系统

5.7 Applications to Differential Equations 329

特征值与特征向量在微分方程中的应用

5.8 Iterative Estimates for Eigenvalues 337

特征值的迭代估计

Supplementary Exercises 344

补充习题

Chapter 6 Orthogonality and Least Squares 347

第6章 正交性与最小二乘

INTRODUCTORY EXAMPLE: The North American Datum and GPS Navigation 347

介绍性示例：北美基准面和GPS导航

6.1 Inner Product, Length, and Orthogonality 348内积、长度与正交性

6.2 Orthogonal Sets 356

正交集

6.3 Orthogonal Projections 365

正交投影

6.4 The Gram–Schmidt Process 372

格拉姆-施密特过程

6.5 Least-Squares Problems 378

最小二乘问题

6.6 Applications to Linear Models 386

正交性与最小二乘在线性模型中的应用

6.7 Inner Product Spaces 394

内积空间

6.8 Applications of Inner Product Spaces 401

内积空间的应用

Supplementary Exercises 408

补充习题

Chapter 7 Symmetric Matrices and Quadratic Forms 411

第7章 对称矩阵与二次型

INTRODUCTORY EXAMPLE: Multichannel Image Processing 411

介绍性示例：多通道图像处理

7.1 Diagonalization of Symmetric Matrices 413

对称矩阵的对角化

7.2 Quadratic Forms 419

二次型

7.3 Constrained Optimization 426

约束优化

7.4 The Singular Value Decomposition 432

奇异值分解

7.5 Applications to Image Processing and Statistics 442

对称矩阵与二次型在图像处理及统计学中的应用

Supplementary Exercises 450

补充习题

Chapter 8 The Geometry of Vector Spaces 453

第8章 向量空间解析几何

INTRODUCTORY EXAMPLE: The Platonic Solids 453

介绍性示例：柏拉图多面体

8.1 Af?ne Combinations 454

仿射组合

8.2 Af?ne Independence 462

仿射无关

8.3 Convex Combinations 472

凸组合

8.4 Hyperplanes 479

超平面

8.5 Polytopes 487

多面体

8.6 Curves and Surfaces 499

曲线与曲面

Chapter 9 Optimization (Online)

第9章 优化（线上）

INTRODUCTORY EXAMPLE: The Berlin Airlift

介绍性示例：柏林空运

David C. Lay，美国伊利诺伊州奥罗拉学院学士，美国加州大学洛杉矶分校硕士和博士；自1966年起，他就主要在美国马里兰大学帕克分校从事数学教研工作；作为客座教授，他曾供职于阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由大学、德国凯泽斯劳滕大学；在泛函分析与线性代数领域发表论文30多篇。

作为NSF发起的线性代数课程研究组的创始会员，David C. Lay是线性代数课程现代化新动向的领导者，也是几本数学教材的合著者，包括《泛函分析导论》《积分学及其应用》等。

David C. Lay于1996年获得马里兰大学优秀教学奖，1994年获得马里兰大学杰出教师称号；曾获美国数学学会颁发的高等学校数学教学奖，并成功当选为阿尔法拉姆达三角洲荣誉学会和金钥匙国家荣誉学会会员。1989年，奥罗拉学院授予其杰出校友称号。他还是美国数学学会、加拿大数学学会、国际线性代数学会、美洲数学学会、科学研究学会、工业与应用数学学会会员。

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实际上，线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言，理解每一节的内容并不容易，

我们称一个线性方程组是相容的，若它有一个解或无穷多个解；称它是不相容的，若它无解。

习题1.1，第11题，X2+5x3=-5

书籍介绍

线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支科学，在现代数学的各个领域都有应用。本书内容主要包括线性代数中的线性方程、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性与最小二乘、对称矩阵与二次型、向量空间解析几何等，目的是让学生掌握线性代数的基本概念、理论和证明。全书内容简洁、例题丰富、版式美观，除介绍基本概念外，还介绍了它们在各个领域中的具体应用。本书是一本介绍性的线性代数教材，内容翔实，层次清晰，适合作为高等学校理工科数学课程的双语教学用书，也可作为公司职员及工程学研究人员的参考书。