赵老师讲平面几何（上）—学习的钥匙和怎样运用基本图 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

本书为共两大部分，分别为《解几何题的钥匙》和《平面几何解题思路》。，本书系赵老师几十年来平面几何教学思路的集中展示，并由年轻在职教师重新选配了练习题和习题。老师通过学习此书可以掌握平面几何教育方法的精髓，学生精心研读后也可举一反三、触类旁通，掌握一整套行之有效的平面几何解题方法。

部分

几何是怎样入门的 ……………………………………………………………… 3

几何是研究什么的 ………………………………………………………… 3

不懂概念寸步难行 ………………………………………………………… 5

怎样记概念学概念 ………………………………………………………… 7

判断、推理的依据 ………………………………………………………… 11

思路是怎样打开的 …………………………………………………………… 13

推理从这里开始 …………………………………………………………… 13

泾渭分明的平行线问题 …………………………………………………… 15

规规矩矩证全等三角形 …………………………………………………… 17

综合性强的平行四边形 …………………………………………………… 21

从相似形谈到研究基本图 ………………………………………………… 26

从圆谈到知识归类训练法 ………………………………………………… 37

辅助线与基本作图的关系 ………………………………………………… 45

困难是怎样克服的 …………………………………………………………… 50

注意 “看清题”和 “看清图” …………………………………………… 50

弄清 “有什么”和 “要什么” …………………………………………… 56

知道做什么题,怎样做题 ………………………………………………… 62

学会做过题后做小结 ……………………………………………………… 66

初步了解改头换面的几何证明题 ………………………………………… 69

6.认真做好各种各样的几何计算题 ………………………………………… 77

第二部分

怎样学习平面几何 …………………………………………………………… 87

基本图与综合题 ……………………………………………………………… 94

基本图分论 …………………………………………………………………… 101

三线八角 ………………………………………………………………… 101

角平分线 ………………………………………………………………… 108

三角形中线 ……………………………………………………………… 120

三角形中位线 …………………………………………………………… 128

五种互余 ………………………………………………………………… 139

勾股定理 ………………………………………………………………… 149

锐角三角函数 …………………………………………………………… 158

直角三角形斜边中线 …………………………………………………… 164

直角三角形斜边上的高 ………………………………………………… 168

正弦定理和余弦定理 …………………………………………………… 175

三角形不等 ……………………………………………………………… 187

平行四边形和梯形 ……………………………………………………… 195

垂径分弦 ………………………………………………………………… 202

圆的切线 ………………………………………………………………… 211

和圆有关的角 …………………………………………………………… 221

两圆的公共弦与公切线 ………………………………………………… 239

平行线带来的比例线段 ………………………………………………… 248

图中的比例线段 ………………………………………………………… 271

圆幂定理 ………………………………………………………………… 285

复习中基本图的作用 ………………………………………………………… 298

熟能生巧 ………………………………………………………………… 298

见多识广 ………………………………………………………………… 312

3.见到不会的先想会的 …………………………………………………… 320

赵惠民：1929年生于北京，曾在原女一中（161中学）及北京四中教数学，同时担任西城区数学教研员。早在上世纪80年代末前后出版过《解几何题的钥匙》、《平面几何解题思路》系列图书，曾对我国的平面几何教学研究和实践做出过很大贡献。1990年从北京四中退休。

张波：中国科学院研究生院项目管理工程硕士、统计学学士，高中就读于北京四中数学A1班。现任北京四中校友促进教育基金会道元教育研究院项目负责人，谷丹数学工作室数学教学助理，对于中小学数学课程开发、习题教研方面及中学数学教师培训方面具有丰富经验。

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推理从这里开始

如果把概念、公理、定理都学会了,判断、推理就有了基础。这时就要进行 一些训练,比如,从具体到抽象的训练。 下面,我们先从两个角互余的关系出发,研究一下推理是如何展开的。 若α为40°,则它的余角β为50°。互余是两角之间的大小关系,只要知道其 中一个角的大小,就可以求出另一个角的大小。 若α为40°,画出它的余角γ,则γ 为50°;再画出α的另一个余角θ,则θ 亦为50°。结论是:凡是40°角的余角,无论画出多少个,都是50°,也就是相等。 若α不是40°,则它的余角当然不是50°,但总可以用90°-α来表示。结论 是:凡是α角的余角,无论画出多少个,都可以用90°-α 表示。所以,凡是α ·13·

角的余角都是相等的。 以上道理虽然简单,但是已经离开了具体数字的计算,开始上升到抽象推 理。这时,从研究图形性质的角度看,我们已经从计算一个角 (或几个角)的大 小 (度、分、秒),过渡到判断两个角大小相等,虽然这时并不知道这两个角各 自是多少度。 与此相类似,若是α角等于β角,则α角的余角必等于β角的余角。 两角互补的关系也是一样,下面写出推理的具体思路看一看。图2 1 例1 已知:如图2 1,∠α 是∠β的补角, ∠γ也是∠β的补角。求证:∠α=∠γ。 分析:既然∠α、∠β是互补的角,就用式子 把它们的关系表示出来,写成∠α ∠β=180°,再 进一步,∠α等于什么呢? ∠α=180°-∠β;同样 的想法写出∠γ=180°-∠β。到这里,可以看出, ∠α与∠γ都等于180°-∠β,所以∠α=∠γ。 证明:∵∠α ∠β=180° (补角定义), 又∵∠γ ∠β=180° (补角定义), ∴∠α=180°-∠β (等式性质), ∠γ=180°-∠β (等式性质), ∴∠α=∠γ (等量代换)。 同样是图2 1,可以把已知条件改作∠α 与∠γ 是对顶角,求证∠α=∠γ。 证明开始时,先说OB、OC 分别是OA、OD 的反向延长线,根据是对顶角定 义;再说∠AOB 与∠COD 都是平角,根据是平角定义;接着说∠α ∠β= 180°,∠γ ∠β=180°,根据是互补定义。到了这时就可以直接得出结论, ∠α=∠γ,根据是同角的补角相等。 通过上述推理过程可以看出,从已知条件出发,每一步骤就是一次判断,把 一次又一次的判断连接起来就构成了推理。判断的依据不是概念,就是公理、定 理,也包括等式性质。开始学某一部分知识的时候,一般用概念进行判断较多, 逐渐地,定理学多了,用定理作为推理依据就多了。 练 习 1.已知:∠AOC 和 ∠BOC 互 为 邻 补 角,OD 平 分 ∠AOC,OE 平 分 ∠BOC。求证:OD⊥OE。 2.已知:AB⊥MN 于B,CD⊥MN 于D。求证:AB∥CD。 ·14· 赵老师讲平面几何 (上)

2.泾渭分明的平行线问题 从研究 “同角的余角相等”这个结论开始,我们已经走进了推理论证的大 门。判断、推理伴随着学习几何的全过程,但是各阶段的推理也有它自己的特 点。平行线这一部分推理的特点,是必须分清判定和性质。即已知平行用性质定 理,求证平行用判定定理。 用角的关系来判断两直线平行,是一种常用的方法。因为平行线虽然有定 义,但是不好运用 “不相交”这个概念,所以不便用定义,需要另设判定方法。 这里有一项准备工作必须做好,就是弄清三线八角中的同位角、内错角和同 旁内角。这些角是因位置不同而得名的并称的角,并不说明两个角的大小关系, 即同位角有的相等,有的不相等;内错角也是有的相等,有的不相等;同旁内角 有的是互补的,有的不是互补的。 学习平行线判定定理,千万不要过早地简化定理,应该要求自己能完完整 整、一字不错地将定理全文背下来,明确这是用同位角的大小关系判断两直线平 行或是不平行。若知道 (已知或已证)同位角相等,就可以判断两直线平行,若 不知道同位角相等还是不相等,就不能判断两直线平行。 平行线性质定理,必须已知或已证两直线平行才能用,学习时也要全文背诵 下来。若是过早地简化,往往容易忽视 “如果”“那么”的关系,造成 “凡同位 角就相等”的错误印象。 有关平行线问题的推理,重要的事情就是分清性质和判定,每次证一个题 目,对其中每一个推理步骤,都要问自己一次:是已知平行还是求证平行? 是用 性质定理还是用判定定理? 例1 图2 2中,已知:AB∥CD,EG、FH 分别是∠AEF 和∠EFD 的平 分线。求证:EG∥FH。 图2 2 ·15· 二、思路是怎样打开的

证明:∵ AB∥CD (已知), ∴ ∠AEF=∠EFD (两直线平行,内错角相等)。 ∵ ∠1=∠2,∠3=∠4 (角平分线定义), ∴ ∠2=∠3 (等式性质), ∴ EG∥FH (内错角相等,两直线平行)。 值得注意的是∠2与∠3确实是内错角,但是之所以能说∠2=∠3,并不是 因为这两个角由它们的位置来看是内错角 (因为内错角不见得相等),而是因 为∠2是∠AEF 的一半,∠3是∠EFD 的一半,∠AEF 与∠EFD 是相等的, ∠2、∠3是等量的一半,所以相等。 图2 3 练 习 1.如图 2 3,已 知:直 线 MN 分 别 交 AB、 CD、EF 三直线于P、Q、R,且 AB∥CD,∠1= ∠2。求证:AB∥EF。 提示:证明AB、EF 的位置关系时,可以用有 关的角,也可以用平行公理的推论。 2.如图2 4,已知:∠1 ∠2=180°,∠3= 61°。求∠4的度数。 3.如图 2 5,已知:AB∥CD,且 ∠1=∠2。 求证:BE∥DF。 4.如图2 6,已知:AB∥CD,AG、CF 分别 是∠BAC 与∠DCE 的平分线。求证:AG∥CF。 图2 4 图2 5 图2 6 ·16·

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编辑推荐

本书为“北京四中人理科教育经典丛书”之一，是赵惠民老师几十年来平面几何教学思路的集中展示，并由年轻在职教师重新选配了练习题和习题。通过此书，老师们可以掌握平面几何难度技巧较高的方法，并能辅导学生举一反三、触类旁通，是孩子们能掌握一套行之有效的学习和解题方法。

书摘插图

前言

众所周知,平面几何的知识与方法起源于古希腊,至今已有几千年的历史, 不过无论数学如何发展,也无论时代如何变迁,这门古老的数学分支倡导的公理 化思想和演绎精神始终不曾改变。中外历史上的几何学名著不胜枚举,无论是阿 达玛的 《初等几何教程》还是梁绍鸿的 《初等数学复习及研究》,无论是希尔伯特的 《几何基础》还是傅种孙的 《几何基础研究》,都偏于学术味道。我曾说过: “教几何,教师教得高兴,学生才能学得高兴,教师不能只知道一二三,还要知 道四五六甚至七八九的高观点。”这里说的 “四五六、七八九”指的就是平面几何体现的公理化思想和演绎精神。本套书就是很好地能反映上述思想和精神,又 能帮助学生们学好几何、帮助老师们教好几何的思路训练专著。

这是一本讲基本图的书,从平面几何的知识和训练中抽出28个常见的重要 的图形作为基本图,希望读者下功夫熟悉它们,证题时先把基本图挑出来,从这 里下手研究。若是没有基本图,可以根据题目的条件制造基本图,按照这些图形 的性质证题。有时一道复杂的题目,拆开来看,也是由几个基本图组合而成的。 所以这本书强调研究基本图,但这些基本图之间无前后、因果关系。图形编号, 只为叙述方便,读者若能记住图号,当然好。否则,将全部基本图另画在一张 纸上,对照研究,也很方便。

这是一本讲思路、讲训练的书。任何一本教材都有自己的体系,尽管定理有 证明,例题有过程,但详细地、有计划地讲怎样分析问题,按部就班地安排训练 要求,是顾不过来的,而缺少解题思路的基本训练,缺乏对问题的分析能力,学 几何是有困难的。所以有的学生说,“简单题不用分析,复杂题不会分析”“学了 定理,也不会证题”,就是缺少这一环。作为课本的辅助材料,本书仍依课本体系 重点讲思路、讲训练要求。除了开头概括地讲了学习几何的方法外,具体的思路、训练都穿插在题目的分析和提示中。有时借助题目,把有关这一类的知识概 括和训练要求一起讲了,以便读者研究,能达到 “研究一个题,学会一类题”的 效果。书中经常使用相同的数学语言,为的是加深印象。希望读者能够逐渐掌握 一整套方法,知识到手,训练落实,就可以比较顺利地分析几何题了。

这本书按照基本图分档配题,以便读者选用。但一个题目往往不止用到一个 基本图,例如同时用到基本图二和基本图二十二,可能将题目排在基本图二之 后,同时注明请参阅基本图二十二。一个学生要熟悉几何定理,特别是要使用几 何定理,不证题是不行的。做了题才能发现薄弱环节,补漏洞,提高水平。一位 教师要落实训练要求,指导各类不同水平的学生,没有一系列不同阶段、不同程 度、不同训练意图的题目是不行的。本书按基本图分类,安排了例题和练习,其 中,类型相近、难易程度相同的题供反复练习使用,适当综合的题供研究提高使 用。读者可根据自己的情况,选用不同程度、不同内容的题进行研究和练习。做 题一定不要贪多,要以课本为主,以课堂学习为主,发现自己学习中的弱点后, 有目的地选一些题补充练习,然后进一步总结和提高。千万不要每题必做,这既 加重负担,也不必要,选做一些,能有收获就好。

 这本书原书于20世纪80年代出版,我们删去了一些与当今国内平面几何教 学内容不太相关的题目,并加入了近几年北京市中考数学的真题或模拟题,就 是为了让大家看到,历久弥新才能博采众长,我们总结出的思路和方法并没有随 着时间的推移而过时,反而显示出永久的魅力。衷心希望这套书的重新出版能更 好地指导老师们教授平面几何,帮助学生们学习平面几何,特别是可以帮助青年 数学教师成长。若如此,我们将倍感欣慰! 后要特别感谢北京四中校友促进教育基金会对本书出版的大力支持!

赵惠民 张波

 2019.12