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数的世界是无穷无尽的…… “数”的概念可以追溯到埃及文明、美索布达米亚文明的时代，之后才普及至全世界。 但是，虽然统称为“数”，就性质还可分为“素数”“自然数”“整数（0是整数）”“有理数”“无理数”等。 除此之外与“数”相关的还有“图形数”“魔方阵”。 “圆周率(π)”也是数的一种。本书内容主要集中在“数”本身——尤其是其自身的奇特性质，从而不断接近“数”的本质。

第1章　“数”的分类　 1

1　“数”是何时被发现的　 2

2　“自然数”与“集合”　 4

3　“负数”是什么　 6

4　“偶数”与“奇数”的区分方法　 8

5　乘除法运算中重要的“倍数”与“约数”　 10

6　“素数”是什么　 12

7　“有理数”是什么　 14

8　“无理数”是什么　 16

9　“小数”是什么　 18

10　“实数”是什么　 20

Column1　能够快速记住无理数的双关语　 22

第2章　一个特别的存在“0”　 23

1　“0”是在何时何地诞生的 　 24

2　0的存在为什么很重要　 26

3　0是如何被人们知道的　 28

4　受0恩惠的“计算”　 30

5　0和空集有相似的关系　 32

6　0、垂线和平面坐标　 34

7　使用0可以简单地表示数值很大的数字　 36

8　我们身边随处都有0　 38

Column2　“新世纪”为何不从0开始　 40

第3章　拥有各种猜想的“素数”及其不可思议的性质　 41

1　素数是“重要的”数吗 　 42

2　素数有无限多个　 44

3　素数是如何分布的　 46

4　“孪生素数”是什么　 48

5　埃拉托色尼的素数筛选法　 50

6　“能够推导素数的公式”并不存在　 52

7　“梅森数”是什么　 54

8　梅森素数是不是有无限多个呢　 56

9　从心底里爱着素数的人们　 58

10　“费马数”是什么　 60

11　“哥德巴赫猜想”是什么　 62

12　一些奇奇怪怪的素数们　 64

Column3　“仅由1组成”的素数寥寥无几　 66

第4章　由“约数”引申而来的各种各样的数　 67

1　“不足数”是什么　 68

2　“丰沛数”是什么　 70

3　“完全数”是什么　 72

4　有没有“是奇数的完全数”　 74

5　“亲和数”是什么　 76

6　好不容易被发现的“亲和数对”　 78

7　关于亲和数的“猜想”　 80

8　“交际数”是什么　 82

9　“奇异数（数论）”是什么　 84

Column4　至今仍未被证明出来的“3x＋ 1问题”是什么　 86

第5章　图形和数相结合的“图形数”　 87

1　“三角形数”是什么　 88

2　推导三角形数的公式　 90

3　在组合中登场的三角形数　 92

4　“四角形数（平方数）”是什么　 94

5　有没有“五角形数”和“六角形数”呢　 96

6　费马的猜想　 98

7　在组合中登场的“正四面体数”是什么　 100

8　“立方数”是什么　 102

9　“平方数”与“立方数”是什么关系　 104

10　“平方数”与“立方数”的和　 106

11　华林的猜想　 108

Column5　令人怀念的“寺山算术”　 110

第6章　非常不可思议的“幻方”　 111

1　“幻方”是什么　 112

2　“幻和”是什么　 114

3　低阶幻方的数量有多少　 116

4　4阶幻方的不可思议之处　 118

5　中心对称的“对称幻方”　 120

6　幻方的“制作方法”　 122

7　幻方也有很多不同种类　 124

8　从六角形衍生而来的“魔方六方阵”　 126

Column6　幻方与“行星”有关系吗　 128

第7章　圆周率“π”的历史　 129

1　“π”是什么　 130

2　“圆周率”这种想法的起源是什么　 132

3　π 的近似值是多少　 134

4　东方关于 π 值的研究　 136

5　数学史上个“推导出 π 的公式”　 138

6　推导 π 的各种各样的公式　 140

7　从人力走向计算机的时代　 142

8　π 是无法用分数表示的无理数　 144

9　用到 π 的公式五花八门　 146

10　“化圆为方问题”是什么　 148

Column7　在线“整数列查询网站（OEIS）”　 150

第8章　将计算化繁为简的“指数”与“对数”　 151

1　“加法”比“乘法”简单　 152

2　“等比数列”是什么　 154

3　“指数的和”是什么　 156

4　“减法”比“除法”简单　 158

5　“等比数列”和“等差数列”　 160

6　纳皮尔的奇想　 162

7　纳皮尔将底数定为“0.9999999”　 164

8　为什么使用“0.9999999”呢　 166

9　“对数”是什么　 168

10　“e”是什么数①　 170

11　“e”是什么数②　 172

12　“e”是什么数③　 174

13　与微分和积分密切相关的“e”　 176

Column8　夏尔•埃尔米特的悔恨　 178

参考文献　 179

索引　 182

后记　 185

今野纪雄1957 年生于东京。1982 年毕业于东京大学理学部数学专业。1987 年修完东京工业大学大学院理工学研究科博士课程学分后退学。随后担任过室兰工业大学数理科学共同讲座的教授助理、康奈尔大学数理科学研究所客座研究员，现在于横滨国立大学大学院工学研究院担任教授。主要著作有《图解拓扑学 超入门》《看漫画也能学复杂的网络结构》《看漫画也能学统计入门》《图解杂学 复杂系》《图解杂学 概率》《图解杂学 概率模型》等。

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编辑推荐

这是一本给小学高年级学生和中学生的一本数学知识读物。随着年级的增长，学生需要掌握的数学知识越来越多，如何充满兴致地掌握枯燥的数学知识，无论是对于家长还是学生，都是一个令人头疼的问题。这本书介绍了数学学习中各种数的知识点，如自然数、整数、素数、有理数与无理数、对数与指数、圆周率等，一个对页讲解一个知识点，逻辑清晰，排版设计活泼，让数学的学习生动有趣起来，是一本干货满满的课外知识读物，不仅有助于学生掌握数学知识点，还能培养学生的逻辑思维能力，培养数学思维。

前言

这本书是对各种各样的数，特别是对它们那不可思议的性质进行分析、讲解。在这里，就先简单地介绍一下素数的魅力吧。相信很多人都知道，素数的定义是“一个大于1的自然数，且约数为1和其本身的数”。具体来说，就是像“2、3、5、7、11、13、17”这一类的数。而“4”的约数除了 1和 4 之外还有 2，所以 4 不是素数。虽然素数像这样被人们如此简单地定义了，但是其性质和构造却是既丰富又深奥，仿佛像一汪“取之不竭”的泉水。首先，素数到底有多少个呢？就算不知道准确的个数，那到底是有穷个？还是说有无限多个呢？其实呀，素数是有无限多个的！但是，关于这个结论的证明在大约 2300 年前，也就是遥远的古希腊时代，就已经出现在了欧几里得所著的《原论》这本书上。这实在是令人吃惊，具体内容将在本书的第3章为大家说明。其次，我们来看看孪生素数，相差 2 的 1 组 2 个的素数对被称为孪生素数，如（3，5）（5，7）（11，13）等。可是，关于孪生素数，虽然有“像素数一样拥有无限多个”的猜想，但是至今为止，谁都没能成功将其证明。这个孪生素数猜想也是数学界有名的一个未解之谜。与之相关联的，在 2013 年，美国新罕布什尔大学的张益唐证明出了“存在无穷多对素数，其差小于7000”。这个新闻在一瞬间就轰动了全世界，在日本也被刊登到了体育新闻上，被广为宣传。犹记得，他在发现这个新定理的时候已经将近 60 岁高龄的事情也引起了很高的关注度。至今，“七千万”这个范围已经被很大幅度地缩小了，但遗憾的是，素数对间隙的这个范围还是没有缩小到“2”。也许终有一天，孪生素数猜想会被证明，就像人们猜想的那样——“孪生素数有无限多个”。顺带提一下，肯定有人也知道，除了上述谜题外，另一个数学界的未解之谜之一——黎曼猜想。这个猜想是由德国的数学家黎曼在 1859 年所著论文的基础上提出的，实际上与素数是如何分布的这一点密切相关，其论文的标题就是“论小于某给定值的素数的个数”。 是不是同刚才的孪生素数猜想一样，也与素数的分布有关呢？那么，那些相差为 2 的 1 组 3 个的素数，也就是人们所说的三胞胎素数一共有多少组呢？其实呀，本书在之后也会讲解，可以很轻易地证明出只有（3，5，7）这一组。像这样 3 个素数以（p，p 2，p 4）的形式虽然只有一组存在，但是如果稍微改变一下条件，来考虑一下 3 个素数以（p，p 2，p 6）的形式存在的三胞胎素数，情况就会大不相同了。这种情况下，又有很多如（5，7，11）（11，13，17）（17，19，23）等素数对的存在，于是就又有了无限对存在的猜想。关于这一系列的猜想和证明在逐渐发展。此后，4 个素数以（p，p 2，p 4，p 6）的形式存在的四胞胎不存在这件事就立刻被证明了。但是人们又想改变一下条件来研究，比如说 4 个素数以（p，p 2，p 6，p 8）的形式存在的四胞胎素数，则存在诸如（5，7，11，13）（11，13，17，19）这样 1 组以上的素数对，但是是否有无限对存在这一点，目前还没有被证明。此外，2 个 1 组的素数对除了（p，p 2）的形式以外，现在人们经常研究的还有以（p，p 4）形式存在的表兄弟素数对，和以（p，p 6）形式存在的六素数对。像这样有着五花八门的素数对的存在，关于它们的猜想和研究也还有很多，一旦说起来就没有尽头了，我们暂且先说到这里。在学校学习数学时，基本上被教授的都是已经得出结论的知识，所以很多人的印象里就会有“在这个宇宙中解不开的问题非常稀少，而且好像不是只有一些特殊的问题存在吗”这样的想法，更有甚者还有“数学难道不是的吗”这样的想法。这其实是不对的，虽然“有些问题很容易就能够理解，觉得好像看上一眼就能够解开”，但是“其实是怎么也解不开的非常难的问题”。从这个角度来看，数字真是一座问题的“宝”山！就像我前面说的一样，仅仅是数字里面的素数，而且是极其小的一部分的话题，都可以被无限展开。虽然说我的主要研究方向是概率论，但是在研究过程中经常会有数字，特别是自然数的出现。倒不如说是，概率由于排列组合的存在，需要计算的东西并不少，所以亲和性很高，与数字经常打交道也可以说是理所当然。可是，在意料之外的地方突然碰见数字的那种喜悦，对于一个研究者来说，是用什么东西都无法代替的。我这么说可能有一点夸张，但是“表述数字就相当于表述数学”，这么说也不为过吧。本书是在 2001 年出版的《图解杂学　不可思议的数字》（Natsume出版社）的基础上，大幅修改后的出版物。后说一点，科学书籍编辑部的石井显一先生，就此次出版关联的工作事无巨细悉心地帮助我，我深受他的恩惠，在此深表感谢。

书籍介绍

数的世界是无穷无尽的…… “数”的概念可以追溯到埃及文明、美索布达米亚文明的时代，之后才普及至全世界。 但是，虽然统称为“数”，就性质还可分为“素数”“自然数”“整数（0是整数）”“有理数”“无理数”等。 除此之外与“数”相关的还有“图形数”“魔方阵”。 “圆周率(π)”也是数的一种。本书内容主要集中在“数”本身——尤其是其自身的奇特性质，从而不断接近“数”的本质。